SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [120

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Desenvolvida originalmente por Ludwig Boltzmann, esta equação é uma ferramenta poderosa para a análise dos fenômenos de transporte envolvendo gradientes de temperatura e densidade. Essa equação é muito importante na física estatística e amplamente aplicada no estudo de sistemas fora do equilíbrio termodinâmico. Geralmente, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo do transporte de calor e carga, fornecendo informações sobre propriedades de transporte como condutividade elétrica e térmica, viscosidade, etc. Para um sistema com função distribuição de partículas $f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}$ sujeita a uma força externa ${\vec {F}},$ a equação de Boltzmann é dada por

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\vec {p}}{m}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}+{\vec {F}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}

onde o termo da direita descreve o efeito das colisões entre as partículas do sistema.

Dedução matemática

Considere uma função de distribuição $f({\vec {x}},{\vec {p}},t),$ de maneira que

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}

represente o número de partículas que, no instante $�,$ se encontra na posição ${\vec {x}}$ em um elemento de volume $\mathrm {d} {\vec {x}}$ com momento $\mathrm {d} {\vec {p}}$ em torno de ${\vec {p}}.$ Na ausência de colisões entre as partículas desse sistema, temos

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

f({\vec {x}}+{\vec {v}}\delta t,{\vec {p}}+{\vec {F}}\delta t,t+\delta t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}=f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}

onde ${\vec {F}},$ é um campo de força externo atuando nas partículas. Entretanto, se considerarmos as colisões entre partículas a densidade $�$ muda, e obtemos

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

f({\vec {x}}+{\frac {\vec {p}}{m}}\delta t,{\vec {p}}+{\vec {F}}\delta t,t+\delta t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}-f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}\mathrm {d} t.

Onde agora, o termo da direita descreve as colisões entre partículas. Expandindo o lado esquerdo em primeira ordem em $\delta t,$ chegamos a seguinte expressão para a equação de Boltzmann

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\vec {p}}{m}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}+{\vec {F}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}.

Desde de sua descoberta, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo de vários sistemas físicos, entretanto, soluções para essa equação só foram encontradas em 2010. Philip T. Gressman e Robert M. Strain encontraram uma solução global clássica para a equação de Boltzmann com interações de longo alcance.^[1]

A equação de Boltzmann pode ser utilizada para calcular as propriedades de transporte eletrônico em metais e semicondutores. Por exemplo, se um campo elétrico é aplicado a um sólido, devemos resolver a equação de Boltzmann para a função de distribuição dos elétrons. Se o campo elétrico é constante, a função de distribuição também é constante e está associada a um fluxo de corrente na direção do campo. A partir da equação de Boltzmann também é possível calcular o fluxo de calor em um sólido que surge devido a uma diferença de temperatura, e a condutividade térmica. As equações resultantes descrevem os fenômenos termoelétricos, tais como o efeito Seebeck e o efeito Peltier. Finalmente, se temos um campo magnético constante, podemos ver que a condutividade elétrica geralmente diminui com o aumento do campo magnético, um comportamento conhecido como magnetorresistência. A equação do transporte de Boltzmann também pode ser utilizada para descrever o efeito Hall, e fenômenos mais complexos como termomagnético, o efeito Ettingshausen e o efeito Nernst.

Propriedades de não equilíbrio de gases atômicos ou moleculares, como viscosidade, condução térmica e difusão têm sido tratados com a equação de Boltzmann. Embora muitos resultados úteis, como a independência da viscosidade na pressão, podem ser obtidos por métodos aproximados.

Outra aplicação da equação de Boltzmann é no estudo de plasmas. Muitas das propriedades dos plasmas podem ser calculadas estudando o movimento das partículas individuais em campos elétricos e magnéticos, ou considerando equações hidrodinâmicas ou a equação Vlasov, juntamente com as equações de Maxwell. No entanto, propriedades sutis de plasmas, como processos de difusão e de amortecimento de ondas, podem ser melhor compreendidas, partindo da equação de Boltzmann.

A equação do virial é uma maneira de quantificar a não idealidade dos gases reais. À baixa pressão e alta temperatura os gases se comportam em geral como perfeitos; porém, em alguns casos, ao valor da relação PV/T varia com a pressão^{[necessário esclarecer]} e os gases obedecem a uma lei como:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$PV=RT+BP$ (para 1 mol)

onde $�$ é chamado segundo coeficiente do virial.

Para aproximar ainda mais o cálculo da realidade, escreve-se a equação do virial:

PV=(RT +BP+CP2+DP3....) onde B,C,D são os segundo, terceiro, quarto... coeficiente do virial do gás estudado.

A determinação de valores para os coeficientes do virial são feitas a partir da comparação com dados obtidos experimentalmente para a relação entre pressão, volume e temperatura. Sendo assim, a equação do virial é a que possui maior potencial descritivo de um gás real. Porém, o uso de um grande número de parâmetros matemáticos torna o cálculo mais complicado. Além disso, os coeficientes do virial tendem a decair sequencialmente de modo significativo, de modo que B>>C. Assim, costuma-se simplificar a equação do virial considerando B o único coeficiente diferente de zero.

Em física e química e campos relacionados, equações mestre são usadas para descrever a evolução no tempo de um sistema que pode ser modelado como estando em um exato número contável de estados a qualquer tempo dado, e onde a divisão entre estados é tratada probabilisticamente. As equações são usualmente um conjunto de equações diferenciais para a variação no tempo das probabilidades que tal sistema ocupa em cada diferente estado.

Introdução

Uma equação mestre é um conjunto fenomenológico de equações diferenciais de primeira ordem^[^{carece de fontes]} descrevendo a evolução no tempo (usualmente) da probabilidade de um sistema ocupar cada um dos conjuntos discretos de estados^[^{carece de fontes]} com respeito a uma variável contínua de tempo t. A mais familiar forma de uma equação mestre na forma de matriz:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {P}},

onde ${\vec {P}}$ é um vetor coluna (onda elemento i representa estado i), e $\mathbf {A}$ é a matriz de conexões. A forma como as conexões entre os estados são feitas determina a dimensão do problema, é tanto

um sistema d-dimensional (onde d é 1,2,3,...), onde qualquer estado está conectado com exatamente seu 2d mais próximos vizinhos, ou
uma rede, onde cada par de estados pode ter uma conexão (dependendo das propriedades da rede).

Quando as conexões são simplesmente números, a equação mestre representa um esquema cinético, e o processo é Markoviano (qualquer salto de tempo da função densidade de probabilidade para o estado i é um exponencial, com uma taxa igual ao valor da conexão). Quando as conexões dependem do tempo atual (i.e. a matriz $\mathbf {A}$ depende do tempo, $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} (t)$ ), o processo não é Markoviano, e a equação mestre obedece,